[{"data":1,"prerenderedAt":516},["ShallowReactive",2],{"article:column:/column/math-beauty/vectors-and-directions":3},{"id":4,"title":5,"body":6,"description":12,"extension":505,"meta":506,"navigation":511,"path":512,"seo":513,"stem":514,"__hash__":515},"column/column/math-beauty/vectors-and-directions.md","向量：一串数字，也是一个方向",{"type":7,"value":8,"toc":492},"minimark",[9,13,16,19,23,26,29,44,50,57,60,63,66,69,75,87,92,99,107,113,131,138,141,144,147,150,153,159,162,168,171,174,177,180,183,192,202,205,208,210,213,216,219,231,237,260,272,275,298,319,322,325,331,334,343,350,353,361,367,370,373,376,379,382,385,391,404,412,426,429,445,448,461,472,483,486,489],[10,11,12],"p",{},"先修：12 几个数据点，怎样决定一条预测线；平面坐标与基础四则运算",[10,14,15],{},"上一章留下了两个旋钮：斜率a和截距b。转动任意一个，整组预测就按固定的模式变化；有的分量也可能保持不动，例如x＝0处的预测不随a改变。既然这三个数总由同一对参数决定，能不能把它们看成一个整体？",[10,17,18],{},"这样做不只是省写几个括号。我们会发现，两个旋钮能带着这个整体往某些方向移动，却不能把它送到任何想要的位置。向量让这种限制变得可见。",[20,21,22],"h2",{"id":22},"先把次序约定好",[10,24,25],{},"继续使用那件虚构玩具：滑杆位置依次为0、1、2厘米，指针读数依次为1、2、2厘米，模型仍是ŷ＝ax＋b。本文运算先使用按厘米记录的数值；读回实际量时，再带上厘米。a表示厘米与厘米之比，b的数值则对应以厘米计的截距。",[10,27,28],{},"把输入、观测和预测各自排成一组，用粗体表示整个组：",[10,30,31,35,36,39,40,43],{},[32,33,34],"strong",{},"x","＝(0,1,2)，",[32,37,38],{},"y","＝(1,2,2)，",[32,41,42],{},"ŷ","＝(b,a＋b,2a＋b)。",[10,45,46,47,49],{},"这些括号都依次对应第一、第二、第三条记录，即滑杆位置0、1、2。",[32,48,38],{},"中的三个数不是同一个样本的三种特征，而是三条记录各自的指针读数。这个含义后面不能悄悄换掉。",[10,51,52,53],{},"本章所说的实数向量，就是一组有次序的实数。组内各数叫分量，也叫坐标。两个向量相等，要求分量数相同，且对应位置的数都相等；(1,2,2)与(2,1,2)通常表示不同的向量。",[54,55,56],"span",{},"1",[10,58,59],{},"所有这样的三元组组成的集合记作ℝ³，读作“三维实数空间”。ℝ表示实数，右上角的3表示每组有三个坐标。这里的三维先是三个数值位置，不必想成房间的长、宽、高。两元组组成ℝ²，更多记录也可以组成更长的向量。",[10,61,62],{},"例如，补记第四个滑杆位置，观测向量就要补一个坐标。增加的是一条记录，并不是给玩具增加一个物理方向。三维以后难以直接画箭头，也不妨碍继续使用逐坐标的定义；计算依靠对应项，而不是依靠眼睛能否想象整个空间。",[10,64,65],{},"若只把观测改排成(2,1,2)，却保留预测原顺序，就拿第二条观测去比较第一条预测了。重新排序当然可以，但输入、观测、预测和其他逐条信息必须同步移动。向量保存次序，不会替我们检查次序是否弄错。",[20,67,68],{"id":68},"把三次运算写成一次",[10,70,71,72,74],{},"上一章的候选B取a＝1/2、b＝1，预测向量是",[32,73,42],{},"B＝(1,3/2,2)，紧随向量名的B表示“属于候选B”。残差仍按“观测减预测”计算。向量减法就是逐坐标相减：",[10,76,77,80,81,83,84,86],{},[32,78,79],{},"r","B＝",[32,82,38],{},"−",[32,85,42],{},"B＝(1−1,2−3/2,2−2)＝(0,1/2,0)。",[10,88,89,91],{},[32,90,79],{},"是残差向量。它的第二个分量说明B在第二条记录上预测偏低1/2厘米。括号没有把三种偏差混成一个总数，反而保留了每次偏差的去向。",[10,93,94,95,98],{},"加法也逐坐标进行。设",[32,96,97],{},"u","＝(1,1,1)，再把B的每个预测都提高1/6厘米，就得到：",[10,100,101,103,104,106],{},[32,102,42],{},"B＋(1/6)",[32,105,97],{},"＝(1＋1/6,3/2＋1/6,2＋1/6)＝(7/6,5/3,13/6)。",[10,108,109,110,112],{},"这正是上一章的候选C。式子里的(1/6)",[32,111,97],{},"＝(1/6,1/6,1/6)，展示了数乘：一个实数乘向量，就是用这个数乘每个分量。参与数乘的实数也叫标量，用来与整组数区别。",[10,114,115,116,119,120,83,122,124,125,127,128,130],{},"乘2得到每个分量的两倍，乘−1得到每个分量的相反数，乘0得到全为0的一组。三维的零向量写作",[32,117,118],{},"0","＝(0,0,0)，表示三个位置都没有变化。减法也可以理解成加上相反向量，因此",[32,121,38],{},[32,123,42],{},"＝",[32,126,38],{},"＋(−1)",[32,129,42],{},"。",[10,132,133],{},[134,135],"img",{"alt":136,"src":137},"三条记录始终按滑杆位置0、1、2排列；B的预测逐项加1/6得到C，残差逐项减1/6","/collections-assets/math-beauty/ch13/01-records-move-together.png",[10,139,140],{},"图1：整组操作没有省掉任何一条记录，只把同一种操作一起写出。图中预测和残差的数值都以厘米计。",[10,142,143],{},"向量的相等也给“完全拟合”一个严格说法：只有残差向量等于零向量，三个预测才全部吻合。C的残差为(−1/6,1/3,−1/6)，分量之和虽是0，向量却不是零向量。把一串数加成一个数会丢掉信息；保留整组，可以继续追问偏差集中在哪条记录。",[10,145,146],{},"这里能相加，是因为对应项有约定好的含义与单位。把三元组与二元组相加，会缺一个对应项；把温度数值与长度数值直接相加，即使程序肯执行，也没有因此获得合理的现实解释。",[20,148,149],{"id":149},"箭头怎样代表一串数",[10,151,152],{},"暂时离开玩具，画一张二维方格纸。约定向右为第一坐标的正方向、向上为第二坐标的正方向，每格表示1厘米。向量(2,1)可以画成从原点出发、向右2格再向上1格的箭头。",[10,154,155,156],{},"从点(1,1)走到(3,2)，位移也是(3−1,2−1)＝(2,1)。两支箭头起点不同，却表达同一位移。只要不改变大小和方向，整支箭头可以平移。",[54,157,158],{},"2",[10,160,161],{},"但点(3,2)与位移(2,1)不是一回事：前者报告“相对于原点在哪里”，后者报告“从起点到终点改变多少”。把位移箭头移到原点，只是让终点坐标恰好与位移分量相同，便于读数。",[10,163,164],{},[134,165],{"alt":166,"src":167},"同一坐标系中两支平移后的箭头都表示位移(2,1)；首尾连接(2,1)与(−1,2)得到(1,3)","/collections-assets/math-beauty/ch13/02-arrows-and-addition.png",[10,169,170],{},"图2：左右两图各自在固定的等比例方格中绘制。箭头可平移，坐标轴方向和每格单位不能跟着偷偷变化。",[10,172,173],{},"接着走位移(−1,2)，就是向左1格、向上2格。两段首尾接起来，总位移为(2,1)＋(−1,2)＝(1,3)。这是逐坐标加法的图像：左右变化相加，上下变化也相加。",[10,175,176],{},"对非零向量，乘正数保持方向，乘负数反向；乘数的绝对值决定箭头伸缩的倍数。零向量的起点和终点重合，没有唯一方向，所以不能说“每个向量都指向某处”。",[10,178,179],{},"坐标还需要参照约定。同一位移，若把每格从1厘米改成1毫米，数字就变成原来的10倍；若转动坐标轴，它沿两个轴的分量也会改变。箭头的位置可以平移，不意味着描述箭头的坐标体系可以省略。",[20,181,182],{"id":182},"两个旋钮各带来一种变化",[10,184,185,186,188,189,191],{},"回到三条玩具记录。固定b，让a增加一个数，三个预测分别增加它的0倍、1倍和2倍；固定a，让b增加一个数，三个预测都增加同样的量。因此",[32,187,34],{},"＝(0,1,2)与",[32,190,97],{},"＝(1,1,1)给出两种调整模式：",[10,193,194,196,197,199,200],{},[32,195,42],{},"＝a",[32,198,34],{},"＋b",[32,201,97],{},[10,203,204],{},"＝a(0,1,2)＋b(1,1,1)",[10,206,207],{},"＝(0,a,2a)＋(b,b,b)",[10,209,43],{},[10,211,212],{},"这不是另加的模型，而是原来三条预测的整体写法。它的三个坐标仍由同一组输入位置决定。先对给定向量分别数乘，再相加，得到的结果叫它们的线性组合；a、b是这个组合的系数。",[10,214,215],{},"“线性组合”并不要求系数为正，也不要求它们加起来等于1。本例暂时允许a、b取任意实数，讨论的是模型在数值上能表达什么；装置是否允许负读数等实际限制，需要另行加入。",[10,217,218],{},"设Δa、Δb分别表示a、b的改变量，Δ读作“德尔塔”，这里表示新值减旧值。预测的改变量于是为：",[10,220,221,222,224,225,227,228,230],{},"Δ",[32,223,42],{},"＝Δa",[32,226,34],{},"＋Δb",[32,229,97],{},"＝(Δb,Δa＋Δb,2Δa＋Δb)。",[10,232,233,234,236],{},"比如Δa＝1/2、Δb＝−1，得到Δ",[32,235,42],{},"＝(−1,−1/2,0)。第三处预测完全不动，前两处却都下降。两个旋钮能互相抵消部分影响，却仍在共同约束三个位置。",[10,238,239,240,243,244,247,248,250,251,253,254,256,257,259],{},"这些整体运算为什么可靠？因为它们继承了分量里的实数运算规则。设",[32,241,242],{},"v","、",[32,245,246],{},"w","是同样长的向量，vᵢ、wᵢ表示第i个分量，i就是位置编号；c是一个实数。那么c(",[32,249,242],{},"＋",[32,252,246],{},")的第i项是c(vᵢ＋wᵢ)，按实数分配律等于cvᵢ＋cwᵢ，恰好是c",[32,255,242],{},"＋c",[32,258,246],{},"的第i项。每一项都相等，两个向量就相等。",[10,261,262,263,250,265,124,267,250,269,271],{},"同理，逐项使用vᵢ＋wᵢ＝wᵢ＋vᵢ，就得到",[32,264,242],{},[32,266,246],{},[32,268,246],{},[32,270,242],{},"。因此本例中，先调a再调b，或先调b再调a，只要改变量相同，最终预测也相同。我们没有靠图形的外观猜这个结论。",[20,273,274],{"id":274},"所有能调出的结果是什么形状",[10,276,277,278,199,280,282,283,285,286,288,289,291,292,294,295],{},"把a、b的所有实数取值都放进a",[32,279,34],{},[32,281,97],{},"，得到的全部向量叫作",[32,284,34],{},"与",[32,287,97],{},"的张成集合，常写为span{",[32,290,34],{},",",[32,293,97],{},"}；span是“张成”的记号，花括号里列出用于组合的向量。",[54,296,297],{},"3",[10,299,300,301,303,304,306,307,309,310,312,313,315,316,318],{},"只用",[32,302,34],{},"的倍数，得到一条经过原点的直线；再加入",[32,305,97],{},"的倍数，就可以沿另一种方向移动。",[32,308,97],{},"不可能是",[32,311,34],{},"的某个倍数，因为",[32,314,34],{},"的第一项为0，任何倍数仍为0，而",[32,317,97],{},"的第一项为1。这两种不共线的方向，在三维空间中张成一个过原点的平面。令a＝b＝0就得到原点，负系数则让平面继续向反方向延伸。",[10,320,321],{},"也不要把a、b的参数平面与这个预测平面混在一起。(1/2,1)是一对旋钮设置，只有两个坐标；(1,3/2,2)是这对设置带来的三次预测，有三个坐标。前者告诉我们怎样操作，后者告诉我们整批得到什么。",[10,323,324],{},"这个平面不是上一章画滑杆位置和指针读数的纸面。上一章图上的一个点代表一条观测；此处空间中的一个点，代表三条记录的一整组预测。它的三个坐标轴分别对应第一、第二、第三处预测。",[10,326,327],{},[134,328],{"alt":329,"src":330},"三个预测坐标中的张成平面由(0,1,2)与(1,1,1)生成；每组可表达预测的中项都等于两端平均，观测(1,2,2)不满足","/collections-assets/math-beauty/ch13/03-plane-of-predictions.png",[10,332,333],{},"图3：左图是三维空间投到纸面的示意，只画出平面的一块有限区域；屏幕角度和长度不能用来判断空间夹角或距离。右侧代数关系用于准确检验归属。",[10,335,336,337,339,340,342],{},"不用看图，我们也能认出平面上的点。设",[32,338,10],{},"＝(p₁,p₂,p₃)表示任意一组预测，下标1、2、3对应三条记录。对于模型给出的",[32,341,10],{},"，总有：",[10,344,345,346,349],{},"p₂＝a＋b＝",[54,347,348],{},"b＋(2a＋b)","/2＝(p₁＋p₃)/2。",[10,351,352],{},"也就是说，中项必须等于两端平均。反过来，若一个三元组满足这个条件，取b＝p₁、a＝p₂−p₁，前两项立即吻合，第三项则为2p₂−p₁＝p₃。因此这个条件既没有漏掉可表达的预测，也没有混进不可能的预测。",[10,354,355,356,358,359],{},"观测",[32,357,38],{},"＝(1,2,2)的中项是2，两端平均是3/2，不满足条件，所以它不在这个平面上。无论怎样调两个旋钮，都无法让预测与观测完全重合。上一章的“三条方程不相容”，现在有了同一件事的几何说法。",[54,360,297],{},[10,362,363,364,366],{},"B和C都在平面内，它们之间的改变量是(1/6)",[32,365,97],{},"。但“在平面内”只回答可不可表达，没有回答谁更接近观测。上一章已算出C比B的残差平方和小，仍未证明C胜过所有候选；那个问题留到第17章。",[20,368,369],{"id":369},"整体表示之后还要问什么",[10,371,372],{},"多条记录打包以后，一次加法可以表示批量校正，一次相减可以保存整批残差。这里的方便来自明确的对应关系：每个坐标是谁、按什么单位记录、采用怎样的顺序，都已经约定。",[10,374,375],{},"在数据分析或AI中，也常把数字排列成向量。不过，有的向量收集一批样本的同一读数，有的收集一个样本的多项特征，有的来自模型学到的编码；它们的坐标含义并不相同。本文推导能迁移的是“明确坐标后进行整体运算”的方法，不能直接把玩具的解释搬过去。",[10,377,378],{},"尤其不能把类别编号的差当成现实距离。若给三种颜色编号1、2、3，3−1＝2只是编码之间的算术；换一套编号就会改变结果，并不能据此说某两种颜色更相似。向量本身也不天然保存语义，相似性要靠表示方法、比较规则和实际检验来支持。",[10,380,381],{},"这一章先解决“有哪些可能的整体”。当我们还想问两个整体相差多大、某种调整怎样配合另一种调整，就需要更明确的比较工具。下一章从向量的点积与长度继续，把几何直觉变成能够计算的规则。",[20,383,384],{"id":384},"顺手试一下",[10,386,387,390],{},[32,388,389],{},"题目1："," 从B的参数a＝1/2、b＝1出发，让a减少1/2、b增加1/2。写出预测改变量、新预测向量与新残差向量。若交换两个旋钮的调整顺序，结果是否改变？各分量仍按滑杆位置0、1、2排列。",[10,392,393,224,399,227,401,403],{},[32,394,395,396,42],{},"提示：",[32,397,398],{},"用Δ",[32,400,34],{},[32,402,97],{},"，然后把改变量加到B的预测上。残差仍是观测减预测。",[10,405,406,411],{},[32,407,408,409,42],{},"参考答案：",[32,410,221],{},"＝(−1/2)(0,1,2)＋(1/2)(1,1,1)＝(1/2,0,−1/2)。新预测为(3/2,3/2,3/2)，对应a＝0、b＝3/2；新残差为(−1/2,1/2,1/2)，实际量均以厘米计。交换调整顺序不改变结果，因为两个改变量向量相加满足交换律。",[10,413,414,417,418,421,422,425],{},[32,415,416],{},"题目2："," 保持原来的三个滑杆位置，判断",[32,419,420],{},"q","＝(2,3,4)与",[32,423,424],{},"s","＝(2,4,4)能否成为某组a、b给出的预测。能表达时写出参数，不能表达时给出确切理由。这里数字仍按厘米记录。",[10,427,428],{},"**提示：**先检查中项是否等于两端平均；能通过检验的三元组，可取b为第一项、a为第二项减第一项。",[10,430,431,433,434,436,437,199,439,441,442,444],{},[32,432,408],{}," ",[32,435,420],{},"满足3＝(2＋4)/2，取a＝1、b＝2，便有a",[32,438,34],{},[32,440,97],{},"＝(2,3,4)。",[32,443,424],{},"的中项是4，两端平均却是3，因此无法表达；若坚持前两项，则b＝2、a＝2，第三项会成为6，而不是4。",[20,446,447],{"id":447},"参考与延伸",[10,449,450,452,453,460],{},[54,451,56],{}," 佐治亚理工学院，Dan Margalit、Joseph Rabinoff，《Interactive Linear Algebra》，",[454,455,459],"a",{"href":456,"rel":457},"https://textbooks.math.gatech.edu/ila/vectors.html",[458],"nofollow","2.1 Vectors","。用于核对数值向量、逐坐标运算与线性组合的定义。",[10,462,463,465,466,471],{},[54,464,158],{}," 莱斯大学OpenStax，《Calculus Volume 3》，",[454,467,470],{"href":468,"rel":469},"https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/2-1-vectors-in-the-plane",[458],"2.1 Vectors in the Plane","。用于核对等价位移箭头、首尾相接、数乘与零向量的方向例外。",[10,473,474,476,477,482],{},[54,475,297],{}," 佐治亚理工学院，《Interactive Linear Algebra》，",[454,478,481],{"href":479,"rel":480},"https://textbooks.math.gatech.edu/ila/spans.html",[458],"2.2 Vector Equations and Spans","。用于核对张成集合、两种不共线方向张成平面，以及向量方程与逐项方程的对应。",[10,484,485],{},"本文的玩具读数沿用第12章的虚构教学数据，算例与图解独立编排；参考资料用于核对概念。与MIT讲义中同形算例的关系，见第17章说明。",[487,488],"hr",{},[10,490,491],{},"作者：Jiancheng Wang · 数学之美（独立原创）",{"title":493,"searchDepth":494,"depth":494,"links":495},"",3,[496,498,499,500,501,502,503,504],{"id":22,"depth":497,"text":22},2,{"id":68,"depth":497,"text":68},{"id":149,"depth":497,"text":149},{"id":182,"depth":497,"text":182},{"id":274,"depth":497,"text":274},{"id":369,"depth":497,"text":369},{"id":384,"depth":497,"text":384},{"id":447,"depth":497,"text":447},"md",{"collection":507,"order":508,"slug":509,"author":510},"数学之美",13,"vectors-and-directions","Jiancheng Wang",true,"/column/math-beauty/vectors-and-directions",{"title":5,"description":12},"column/math-beauty/vectors-and-directions","dd6hCQoVJz1-G_NCl7aqz4-_7-eOPAmznG_C-BQKcok",1791935829128]