先修：16 秩与零空间；30 导数与局部线性近似；35 有限位数与浮点表示
上一章解释了实数怎样落到有限的机器格点上。接下来很容易产生一个猜想：只要机器多保留一些位，答案就会可靠。可是，如果输入原本来自测量，计算机收到的数已经带着不确定性呢？即使后面每一步都按实数精确计算，答案仍可能对这点变化非常敏感。
本章先暂时拿走计算机，只用能手算的分数，研究“数据稍微变了，精确答案会变多少”。这叫问题的条件性。算法在有限精度中怎样完成计算，是另一层问题，第37章再展开。[1]
两个几乎挨在一起的读数
我们重新设计一组虚构教学数据，不把它当成真实实验。选定单位并把读数写成无量纲数，两个输入位置为x₁＝1、x₂＝1＋ε，其中ε＞0；对应读数为y₁＝1、y₂＝1＋ε。这里ε表示观测位置的间距，与上一章机器格式中的epsilon无关。
要求直线y＝ax＋b精确经过这两点，就有
a＋b＝1， a(1＋ε)＋b＝1＋ε。
两式相减，εa＝ε，所以a＝1、b＝0。这一次拟合恰好就是y＝x。
现在固定两个输入位置和第一个读数，只把第二个读数增加δ。新斜率ã满足
ã＝[(1＋ε＋δ)−1]/ε＝1＋δ/ε。
因此斜率的变化精确等于δ/ε，截距变为b̃＝−δ/ε。取
ε＝10⁻⁶，δ＝10⁻⁸，
就得到ã＝1.01、b̃＝−0.01。第二个读数只从1.000001变成1.00000101，斜率却增加了1%。输入读数的相对变化约为一亿分之一，参数的相对变化达到百分之一。
这里所有有限小数都可以当作精确分数，等式中没有舍入。因而，“换一个不会舍入的程序”也会得到这两组不同参数。放大来自问题本身：我们试图用两个非常接近的位置，辨认直线的倾斜程度。
图1：两幅图的坐标范围不同。左图横纵刻度均为(原值−1)×10⁶，并标出与原始数值的换算；右图刻度直接使用原值。左图观测间距为10⁻⁶，右图查看距离第一个观测点约1的位置；右图不是把δ直接画大，而是画出相应的两条直线。
同一组参数变化，对不同用途的影响也不同。把预测位置另记为t，新旧预测之差是
Δŷ(t)＝(δ/ε)t−δ/ε＝δ(t−1)/ε。
在观测区间1≤t≤1＋ε内，|Δŷ(t)|≤|δ|。虽然斜率变化了1%，这一小段内的预测最多只变10⁻⁸。到了t＝2，差值就变成0.01；在离观测更远的地方还会继续增加。
所以，“斜率敏感”与“这段区间内的预测敏感”不是同一个问题。更不能据此保证外推符合真实世界：本例只比较两条假定的直线，没有证据证明真实关系在远处仍是直线。
接近退化，还没有退化
第16章讨论过精确的秩。这里设计矩阵的两列是(1，1＋ε)和(1，1)。若它们的线性组合为零，就有
α＋β＝0，(1＋ε)α＋β＝0。
相减得到εα＝0。只要ε≠0，就必有α＝β＝0，两列仍然线性无关。对任意两个读数，公式a＝(y₂−y₁)/ε、b＝y₁−a都给出唯一的精确解。
当ε＝0时，两个位置才真正重合。若两个读数都是1，只剩a＋b＝1，斜率与截距无法分别识别；若读数不同，则同一位置被要求同时具有两个值，没有精确解。
这条边界值得记牢：唯一解可以存在，却很难从有误差的数据中可靠确定。“几乎相同”不能直接套用“完全相同”的秩结论；反过来，满秩也没有承诺参数对扰动不敏感。
而且，并非每个方向的变化都会放大。如果两个读数同时增加δ，差y₂−y₁不变，斜率仍是1，只是截距增加δ。前面得到的1/ε，是固定位置与y₁、只改变y₂时，斜率绝对变化相对于该读数绝对变化的放大倍数。没有指定输入、输出、扰动方式和误差标尺，不能把它笼统叫作所有拟合问题的条件数。
先说明误差除以谁
设z是参考值，z̃是近似值。绝对误差定义为|z̃−z|；当z≠0时，相对误差定义为|z̃−z|/|z|。[2] 分母采用参考值，而不是悄悄换成近似值。若参考值未知，实际工作往往只能估计误差或给出范围，不能把无法知道的精确误差伪装成测得的数据。
绝对误差与原量具有相同单位，相对误差没有单位。它们回答不同的尺度问题。例如把长度从米改记为厘米，绝对误差的数字乘100，相对误差不变。不过，把数值的零点换掉会改变相对尺度，因而不能只凭一个百分比判断所有任务。
考虑固定常数1、只改变输入x的函数f(x)＝x−1。它满足精确等式
f(x＋h)−f(x)＝h。
输出的绝对变化与输入一样大，绝对放大倍数始终为1。然而，取x＝1.000001、h＝0.00000001，原输出为0.000001，新输出为0.00000101。于是
输入相对变化＝10⁻⁸/1.000001， 输出相对变化＝10⁻⁸/10⁻⁶＝0.01＝1%。
没有额外产生一大块绝对误差；同一个10⁻⁸，被拿去与一个小得多的输出比较，所占比例就大了。
图2：两个相对变化的分子相同，分母不同。这里的1000001倍是两种相对变化之比，绝对变化的放大倍数仍然为1。
当x＝1时，参考输出为0，以上相对输出误差没有定义，不能继续除以0。此时可以报告绝对变化，或按任务给出的非零尺度评估是否可接受。比如目标只是判断偏差是否小于某个容差，就应直接检验那项要求，而不是硬凑一个百分比。
用导数刻画局部的相对放大
上一章的ε或u描述机器表示的精度；现在需要一个描述数学问题的量。沿用第30章，若f在x附近有定义并在x处可微，就能写成
f(x＋h)−f(x)＝f′(x)h＋r(h)，
其中|r(h)|/|h|随h趋于0而趋于0。
再要求x≠0、f(x)≠0。对非零的小扰动h，输出相对变化除以输入相对变化为
[|f(x＋h)−f(x)|/|f(x)|] ÷ [|h|/|x|]
＝|x/f(x)| · |[f(x＋h)−f(x)]/h|。
让h趋于0，差商趋于导数，于是得到本章使用的标量局部相对条件数
κ(x)＝|x f′(x)/f(x)|。[3]
κ读作“卡帕”。它把输入和输出各自的参考尺度也纳入比较，刻画足够小的扰动在一阶上的相对放大。当κ很大时，常说这个问题在该输入处相对条件差；评价好坏还要结合输入精度与输出要求。
对刚才的f(x)＝x−1，f′(x)＝1，因此κ(x)＝|x/(x−1)|。在x＝1.000001处，κ＝1000001。由于这个函数的余项恰为0，前面的相对变化之比精确等于这个数，不只是一阶近似。
一般函数却没有这个额外保证。κ是固定x、让扰动趋于0得到的局部量，不能自动当作任意大步的误差上界。如果扰动跨过了函数定义域的边界，甚至连新的函数值都未必存在。想要一整段区间的保证，需要另外控制那段范围内的变化。
κ也可以为0。例如g(x)＝1＋(x−1)²，在x＝1处有g′(1)＝0，且输入、输出都非零，所以κ(1)＝0。但g(1＋h)−g(1)＝h²，只要h≠0，输出仍然变化。一阶项消失，只说明变化比|h|更快地缩小，并没有宣布对任何扰动都完全免疫。
把敏感性换成一个可用范围
前面比较两份数据时，“扰动”只是输入的改动，并不自动说明哪份是真值。只有指定可信的参考，才能把相应差异解释为误差。这在测量任务中尤其重要：屏幕多显示几个小数位，并不会替我们选出参考真值。
继续用ε＝10⁻⁶。假设报告的读数为y₂＝1.000001，且额外知道它与真实读数的绝对差不超过10⁻⁸；仍假定位置和第一个读数完全准确，直线模型完全成立。真实的第二个读数就可能落在
[1.00000099，1.00000101]。
把区间两端分别代入精确斜率公式，会得到0.99与1.01。因此所有与这份信息相容的斜率形成[0.99，1.01]。再准确的除法，也无法只凭现有信息排除其中任意一个值。报告中心值1并附上这段范围，比把1后面继续写零更符合已知证据。
这是一种信息限制：若两种真实情形都能产生同一份带有容差的记录，程序收到的输入相同，就无从凭计算判断真实世界采用了哪一种。增加有效位数可以更准确地处理这份记录，却不能区分记录没有区分的情形。
不过，上述区间依赖全部假设。如果位置也不确定，分母会跟着改变；如果两个读数都有误差，分子会包含两项变化；如果模型不再是直线，单靠两点公式就无法代表目标关系。条件分析的第一步，应当说明哪些量允许变化、它们能变多少，而不是先找一个很大的数来吓自己。
精确问题与数值求解要分两层检查
现在把计算机放回来。设理想输入为x，实际拿到的是x＋h；对这份实际输入，精确答案是f(x＋h)，程序给出的结果记作q。便有精确拆分
q−f(x)＝[f(x＋h)−f(x)]＋[q−f(x＋h)]。
第一项比较两份不同数据的精确答案，属于问题的敏感性。第二项固定实际输入，比较计算结果与它应有的精确答案，需要检查算法及其实现。两项可能同号，也可能抵消，不能把绝对值直接写成两项绝对值之和。
图3：先说清楚基准是谁，才能判断差异来自哪里。条件性与算法稳定性分别检查不同的关系；本章没有据此判定某个具体算法稳定。
真实输入可能包含仪器测量、采样以及上游估计带来的不确定性。提高计算精度，能够减少某些表示和运算误差，却无法凭空找回没有记录下来的真实读数。把1.00000101打印成更多位，不能告诉我们第二个观测原来究竟偏了多少。
在两读数模型中，如果已知只有y₂存在不超过η的误差，就可以直接报告斜率误差不超过η/ε。若模型在更宽范围仍然适用，拉开观测位置会减小这个特定放大倍数；若只能使用原位置，就应诚实保留参数的不确定范围。改写参数单位也许使数字更顺眼，但不会自动补回缺失的信息。
条件差本身不能证明程序有缺陷，条件好也不能保证随便写一种算法都算得可靠。下一章会用一个对输入相当温和的函数说明：即使数学问题本身不敏感，计算路径仍可能把答案弄坏。
顺手试一下
题目1： 两个位置为1和1.0001，原读数也分别为1和1.0001。仅给第二个读数增加2×10⁻⁸。求新斜率、截距，以及在t＝1.00005和t＝2处的预测变化。若两个读数都增加同样的量呢？
**提示：**ε＝10⁻⁴；先求δ/ε，再用Δŷ(t)＝δ(t−1)/ε。
**参考答案：**δ/ε＝0.0002，所以新斜率为1.0002，截距为−0.0002。两个位置的预测变化分别为0.0002×0.00005＝10⁻⁸和0.0002。如果两个读数同时增加2×10⁻⁸，斜率仍为1，截距变为2×10⁻⁸，任意t处预测都增加2×10⁻⁸。
题目2： 对f(x)＝x−1，在x＝1.01处施加h＝0.0001。求输入、输出的绝对与相对变化，及κ(x)。为什么不能将相同的相对误差定义直接用于x＝1？
**提示：**原输出为0.01；两个相对变化各用自己的原参考值作分母。
**参考答案：**输入、输出绝对变化均为0.0001。输入相对变化为0.0001/1.01＝1/10100，输出相对变化为0.0001/0.01＝1/100。二者之比为101，也等于κ(1.01)＝1.01/0.01。x＝1时输出为0，相对输出变化的分母为0，没有定义；绝对变化仍可直接计算为|h|。
参考与延伸
[1] Lloyd N. Trefethen、David Bau，《Numerical Linear Algebra》，Part III: Conditioning and Stability。SIAM公开摘要明确区分数学问题的条件性与算法的稳定性；本文只引用该公开定义，不声称读取付费正文。
[2] 康奈尔大学，David Bindel，CS 6210讲义，Matrix calculus, sensitivity, conditioning，2025年8月27日，“Absolute and relative error”与“Dimensions and scaling”节。核对误差的参考分母、零值边界和量纲要求。
[3] Tobin A. Driscoll、Richard J. Braun，《Fundamentals of Numerical Computation》，Problems and conditioning，1.2.1节。核对标量相对条件数的极限定义；本文用第30章的可微条件独立推导公式，并明确局部适用范围。
本文数据与三幅图均为原创教学构造，有限小数按精确有理数复算；未进行真实测量，也未把这些算例当成具体软件的误差测试。
作者：Jiancheng Wang · 数学之美（独立原创）